RAF Academy
Aljabar dan Fungsi
Eksponen, Logaritma, Persamaan Kuadrat, dan Fungsi Komposisi.
Diketahui fungsi $f(x) = \frac{2x - 5}{3x + 4}, x \neq -\frac{4}{3}$. Invers dari fungsi $f(x)$ adalah $f^{-1}(x) = ...$
Pembahasan:
Rumus cepat invers fungsi pecahan $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ adalah $f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$.
Di sini $a=2, b=-5, c=3, d=4$.
Maka $f^{-1}(x) = \frac{-4x-5}{3x-2} = \frac{-(4x+5)}{-(2-3x)} = \frac{4x+5}{2-3x}$.
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear:
$2x + 3y = 12$
$3x - y = 7$
adalah $\{(x_0, y_0)\}$. Nilai dari $x_0 \cdot y_0$ adalah...
Pembahasan:
Dari pers. (2): $y = 3x - 7$. Substitusi ke pers. (1):
$2x + 3(3x - 7) = 12 \rightarrow 2x + 9x - 21 = 12 \rightarrow 11x = 33 \rightarrow x=3$.
$y = 3(3) - 7 = 9 - 7 = 2$.
Maka $x_0 \cdot y_0 = 3 \cdot 2 = 6$.
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2 - 6x + k = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1^2 + x_2^2 = 20$, maka nilai $k$ adalah...
Pembahasan:
$x_1 + x_2 = 6$, $x_1 x_2 = k$.
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 20$
$(6)^2 - 2k = 20 \rightarrow 36 - 2k = 20 \rightarrow 2k = 16 \rightarrow k=8$.
Bentuk sederhana dari $\frac{8^{2x-1}}{2^{4x+2}}$ adalah...
Pembahasan:
$\frac{(2^3)^{2x-1}}{2^{4x+2}} = \frac{2^{6x-3}}{2^{4x+2}} = 2^{(6x-3) - (4x+2)} = 2^{2x-5}$.
Jika $f(x) = x^2 + 1$ dan $g(x) = 2x - 3$, maka $(f \circ g)(2) = ...$
Pembahasan:
$(f \circ g)(2) = f(g(2))$.
$g(2) = 2(2) - 3 = 1$.
$f(1) = 1^2 + 1 = 2$.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|2x - 3| < 5$ adalah...
Pembahasan:
Sifat $|x| < a \iff -a < x < a$.
$-5 < 2x - 3 < 5$
$-2 < 2x < 8$
$-1 < x < 4$.
Perbandingan umur Ani dan Budi adalah 3 : 4. Jika jumlah umur mereka 35 tahun, umur Budi adalah...
Pembahasan:
Umur Budi = $\frac{4}{3+4} \times 35 = \frac{4}{7} \times 35 = 4 \times 5 = 20$ tahun.
Suku ke-20 dari barisan aritmetika 3, 7, 11, 15, ... adalah...
Pembahasan:
$a=3, b=4$.
$U_{20} = a + 19b = 3 + 19(4) = 3 + 76 = 79$.
Diketahui barisan geometri dengan $U_2 = 6$ dan $U_5 = 48$. Rasio barisan tersebut adalah...
Pembahasan:
$\frac{ar^4}{ar} = \frac{48}{6} \rightarrow r^3 = 8 \rightarrow r = 2$.
Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika 5 + 8 + 11 + ... adalah...
Pembahasan:
$a=5, b=3, n=10$.
$S_{10} = \frac{10}{2}(2(5) + 9(3)) = 5(10 + 27) = 5(37) = 185$.
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{4}$ dari ketinggian sebelumnya. Panjang lintasan bola sampai berhenti adalah...
Pembahasan:
Rumus cepat pantulan: $h \times \frac{b+a}{b-a}$ untuk rasio $\frac{a}{b}$.
$10 \times \frac{4+3}{4-3} = 10 \times 7 = 70$ m.
Perhatikan pola segitiga bola di atas. Pola 1 ada 1 bola, Pola 2 ada 3 bola, Pola 3 ada 6 bola. Berapa banyak bola pada Pola ke-6?
Pembahasan:
Ini adalah pola bilangan segitiga: $U_n = \frac{n(n+1)}{2}$.
$U_6 = \frac{6(7)}{2} = 21$.
Sejenis bakteri membelah diri menjadi dua setiap 15 menit. Jika awalnya ada 20 bakteri, banyak bakteri setelah 1 jam adalah...
Pembahasan:
Waktu 1 jam = 60 menit. Banyak pembelahan = $60/15 = 4$ kali.
Geometri: $a=20, r=2$. Suku ke-5 (setelah 4 kali belah) = $20 \times 2^4 = 20 \times 16 = 320$.
Gradien garis yang melalui titik A(2, 3) dan B(4, 7) adalah...
Pembahasan:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$.
Persamaan garis yang melalui titik (1, 2) dan sejajar dengan garis $y = 3x - 5$ adalah...
Pembahasan:
Garis sejajar memiliki gradien sama, $m=3$.
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 2 = 3(x - 1) \rightarrow y = 3x - 3 + 2 \rightarrow y = 3x - 1$.
Persamaan garis yang melalui titik (2, -1) dan tegak lurus dengan garis $2y - x + 4 = 0$ adalah...
Pembahasan:
Garis awal: $2y = x - 4 \rightarrow y = \frac{1}{2}x - 2$. Gradien $m_1 = \frac{1}{2}$.
Tegak lurus: $m_1 \cdot m_2 = -1 \rightarrow m_2 = -2$.
$y - (-1) = -2(x - 2) \rightarrow y + 1 = -2x + 4 \rightarrow y = -2x + 3$.
Titik potong antara garis $x + y = 5$ dan $2x - y = 4$ adalah...
Pembahasan:
Eliminasi $y$:
$(x+y) + (2x-y) = 5 + 4$
$3x = 9 \rightarrow x=3$.
Substitusi $x=3$ ke $x+y=5 \rightarrow 3+y=5 \rightarrow y=2$.
Titik (3, 2).
Jarak titik (0, 0) ke garis $3x + 4y - 10 = 0$ adalah...
Pembahasan:
Rumus jarak $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
$d = \frac{|3(0) + 4(0) - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-10|}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
Gradien dari garis $5x - 2y + 10 = 0$ adalah...
Pembahasan:
Bentuk $ax + by + c = 0 \rightarrow m = -\frac{a}{b}$.
$m = -\frac{5}{-2} = 2.5$.
Sebuah lingkaran berjari-jari 7 cm berada tepat di dalam sebuah persegi (menyinggung sisi-sisi persegi). Luas daerah di luar lingkaran tetapi masih di dalam persegi adalah... ($\pi = \frac{22}{7}$)
Pembahasan:
Jari-jari $r=7$, maka sisi persegi $s = 2r = 14$.
Luas Persegi = $14 \times 14 = 196$.
Luas Lingkaran = $\frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154$.
Luas Arsir = $196 - 154 = 42$ cm².
Panjang sisi-sisi segitiga siku-siku adalah $x$, $x+7$, dan $x+8$ (sisi miring). Nilai $x$ yang memenuhi adalah...
Pembahasan:
Pythagoras: $x^2 + (x+7)^2 = (x+8)^2$.
$x^2 + x^2 + 14x + 49 = x^2 + 16x + 64$.
$x^2 - 2x - 15 = 0 \rightarrow (x-5)(x+3) = 0$.
Karena panjang harus positif, maka $x=5$. Sisi-sisinya: 5, 12, 13 (Triple Pythagoras).
Keliling sebuah persegi panjang adalah 40 cm. Jika panjangnya 4 cm lebih dari lebarnya, luas persegi panjang tersebut adalah...
Pembahasan:
$2(p+l) = 40 \rightarrow p+l = 20$.
$p = l+4 \rightarrow (l+4)+l = 20 \rightarrow 2l = 16 \rightarrow l=8$.
$p = 12$.
Luas = $12 \times 8 = 96$ cm².
Besar sudut dalam segi-8 beraturan adalah...
Pembahasan:
Total sudut = $(n-2) \times 180^\circ = 6 \times 180 = 1080^\circ$.
Satu sudut = $1080 / 8 = 135^\circ$.
Dua buah segitiga sebangun. Segitiga A memiliki alas 10 cm dan tinggi 8 cm. Segitiga B memiliki alas 15 cm. Tinggi segitiga B adalah...
Pembahasan:
Perbandingan sisi sebangun: $\frac{t_B}{t_A} = \frac{a_B}{a_A}$.
$\frac{t_B}{8} = \frac{15}{10} \rightarrow t_B = 8 \times 1.5 = 12$ cm.
Luas trapesium sama kaki pada gambar di atas (sisi sejajar 12 dan 20, tinggi 8) adalah...
Pembahasan:
$L = \frac{1}{2} \times (a+b) \times t$
$L = \frac{1}{2} \times (12+20) \times 8 = \frac{1}{2} \times 32 \times 8 = 16 \times 8 = 128$.