RAF Academy
Permutasi & Kombinasi
Aturan pencacahan, penyusunan objek, dan pemilihan acak.
Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun bilangan ratusan genap yang terdiri dari 3 angka berbeda. Banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah...
Pembahasan:
Gunakan aturan pengisian tempat (Filling Slots):
Syarat genap: Angka satuan harus {2, 4, 6} -> ada 3 pilihan.
Angka ratusan: Sisa 5 angka (dari total 6) -> 5 pilihan.
Angka puluhan: Sisa 4 angka -> 4 pilihan.
Total = $5 \times 4 \times 3 = 60$ bilangan.
Dalam sebuah pertemuan, terdapat 10 orang yang belum saling mengenal. Jika setiap orang saling berjabat tangan satu sama lain tepat satu kali, berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Pembahasan:
Jabat tangan tidak memperhatikan urutan (A salaman dengan B sama dengan B salaman dengan A), maka gunakan Kombinasi.
$C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
Terdapat 6 orang yang akan duduk mengelilingi meja bundar. Jika 2 orang tertentu harus selalu duduk berdampingan, maka banyak cara mereka duduk adalah...
Pembahasan:
Gunakan Permutasi Siklis: $P_{siklis} = (n-1)!$.
Anggap 2 orang yang berdampingan sebagai 1 kesatuan. Maka objeknya menjadi 5.
Cara duduk = $(5-1)! \times 2!$ (2! adalah posisi 2 orang yg berdampingan).
$4! \times 2 = 24 \times 2 = 48$.
Dari 7 siswa putra dan 5 siswa putri, akan dipilih tim delegasi yang terdiri dari 3 putra dan 2 putri. Banyak cara pemilihan tim tersebut adalah...
Pembahasan:
Memilih 3 putra dari 7: $C(7,3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
Memilih 2 putri dari 5: $C(5,2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
Total cara = $35 \times 10 = 350$.
Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata "MATEMATIKA"?
Pembahasan:
Total huruf (n) = 10.
Huruf ganda: M=2, A=3, T=2.
Permutasi unsur sama: $P = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{3.628.800}{2 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{3.628.800}{24} = 151.200$.
Seorang siswa harus mengerjakan 8 dari 10 soal ujian, tetapi soal nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan. Banyak cara siswa memilih soal adalah...
Pembahasan:
Wajib dikerjakan: 4 soal. Sisa yang harus dipilih: $8 - 4 = 4$ soal.
Sisa pilihan soal yang tersedia: $10 - 4 = 6$ soal.
Kombinasi: $C(6, 4) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
Dua buah dadu dilempar bersama-sama satu kali. Peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 adalah...
Pembahasan:
Ruang sampel $n(S) = 6 \times 6 = 36$.
Kejadian jumlah 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) -> ada 5 kejadian.
Peluang = $\frac{5}{36}$.
Tiga keping uang logam dilempar bersamaan. Peluang muncul minimal dua Gambar (G) adalah...
Pembahasan:
Ruang sampel $n(S) = 2^3 = 8$.
Kejadian minimal 2 Gambar: (G,G,A), (G,A,G), (A,G,G), (G,G,G) -> ada 4.
Peluang = $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Dari seperangkat kartu bridge (52 kartu), diambil satu kartu secara acak. Peluang terambilnya kartu As atau kartu berwarna merah adalah...
Pembahasan:
Peluang gabungan $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Kartu merah = 26. Kartu As = 4. Kartu As Merah (irisan) = 2.
$P = \frac{26 + 4 - 2}{52} = \frac{28}{52}$.
Sebuah dadu dilempar 120 kali. Frekuensi harapan munculnya mata dadu prima ganjil adalah...
Pembahasan:
Mata dadu prima ganjil: {3, 5} -> ada 2.
Peluang = $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Frekuensi Harapan = $P \times N = \frac{1}{3} \times 120 = 40$ kali.
Dalam kotak I terdapat 3 bola merah dan 2 bola putih. Dalam kotak II terdapat 4 bola merah dan 4 bola hitam. Dari setiap kotak diambil satu bola secara acak. Peluang terambilnya bola putih dari kotak I dan bola hitam dari kotak II adalah...
Pembahasan:
Kotak I: P(Putih) = $\frac{2}{5}$.
Kotak II: P(Hitam) = $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Kejadian saling bebas (dikali): $\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Peluang seorang siswa lulus fisika adalah 0,6 dan lulus kimia adalah 0,7. Jika peluang lulus keduanya adalah 0,5, maka peluang siswa tersebut **tidak** lulus keduanya adalah...
Pembahasan:
Peluang lulus salah satu (F $\cup$ K) = P(F) + P(K) - P(F $\cap$ K)
$P(F \cup K) = 0,6 + 0,7 - 0,5 = 0,8$.
Peluang tidak lulus keduanya (komplemen) = $1 - 0,8 = 0,2$.
Dalam gedung pertunjukan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua 14 kursi, baris ketiga 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah...
Pembahasan:
Barisan Aritmetika: $a=12, b=2$.
$U_{20} = a + 19b = 12 + 19(2) = 12 + 38 = 50$.
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 meter dan memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{5}$ dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan bola sampai berhenti adalah...
Pembahasan:
Rumus cepat pantulan: $h \times \frac{b+a}{b-a}$ untuk rasio $\frac{a}{b}$.
$4 \times \frac{5+3}{5-3} = 4 \times \frac{8}{2} = 4 \times 4 = 16$ meter.
Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 10 dan suku pertama 2. Rasio deret tersebut adalah...
Pembahasan:
$S_\infty = \frac{a}{1-r} \rightarrow 10 = \frac{2}{1-r}$.
$10(1-r) = 2 \rightarrow 10 - 10r = 2 \rightarrow 10r = 8 \rightarrow r = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Tentukan dua suku berikutnya dari barisan bilangan berikut: 1, 3, 4, 7, 11, 18, ...
Pembahasan:
Ini adalah pola Fibonacci (jumlah dua suku sebelumnya).
$11 + 18 = 29$.
$18 + 29 = 47$.
Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikkan sebesar Rp 50.000. Jika gaji pertama karyawan tersebut adalah Rp 2.500.000, jumlah gaji karyawan tersebut selama satu tahun pertama adalah...
Pembahasan:
Deret Aritmetika: $a=2.500.000, b=50.000, n=12$.
$S_{12} = \frac{12}{2}(2a + 11b) = 6(5.000.000 + 550.000) = 6(5.550.000) = 33.300.000$.
Barisan bilangan: 2, 6, 12, 20, 30, ... Angka selanjutnya adalah...
Pembahasan:
Pola selisih bertingkat: +4, +6, +8, +10. Selanjutnya +12.
$30 + 12 = 42$.
Seorang anak dengan tinggi 1,5 meter berdiri pada jarak 6 meter dari tiang bendera. Jika panjang bayangan anak tersebut adalah 2 meter, berapakah tinggi tiang bendera tersebut?
Pembahasan:
Konsep Kesebangunan. Jarak total bayangan tiang = $6 + 2 = 8$ m.
$\frac{t_{tiang}}{t_{anak}} = \frac{bayangan_{tiang}}{bayangan_{anak}}$
$\frac{t}{1.5} = \frac{8}{2} \rightarrow t = 1.5 \times 4 = 6$ meter.
Sebuah tangga disandarkan pada dinding tembok. Jarak kaki tangga ke tembok adalah 5 meter dan tinggi tembok yang dicapai tangga adalah 12 meter. Panjang tangga tersebut adalah...
Pembahasan:
Tripel Pythagoras: $5, 12, 13$.
$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ m.
Perhatikan gambar trapesium sama kaki di atas. Jika panjang sisi sejajar adalah 14 cm dan 24 cm, serta tingginya 12 cm, berapakah keliling trapesium tersebut?
Pembahasan:
Alas segitiga siku-siku di kiri/kanan = $\frac{24 - 14}{2} = 5$.
Sisi miring = $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$.
Keliling = $14 + 24 + 13 + 13 = 64$ cm.
Panjang diagonal ruang sebuah kubus adalah $6\sqrt{3}$ cm. Luas permukaan kubus tersebut adalah...
Pembahasan:
Diagonal ruang = $s\sqrt{3}$.
$s\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \rightarrow s = 6$.
Luas permukaan = $6s^2 = 6 \times 6^2 = 6 \times 36 = 216$ cm².
Dua lingkaran masing-masing berjari-jari 10 cm dan 2 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran adalah 17 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah...
Pembahasan:
Rumus GSPL: $L = \sqrt{p^2 - (R-r)^2}$.
$L = \sqrt{17^2 - (10-2)^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ cm.
Sebuah persegi berada di dalam lingkaran yang berjari-jari 10 cm. Jika titik sudut persegi berada pada lingkaran, berapakah luas persegi tersebut?
Pembahasan:
Diagonal persegi = Diameter lingkaran = $20$ cm.
Luas persegi jika diketahui diagonal ($d$): $L = \frac{1}{2} d^2$.
$L = \frac{1}{2} \times 20^2 = \frac{1}{2} \times 400 = 200$ cm².
Jarak antara titik A(2, 5) dan B(8, -3) pada bidang koordinat adalah...
Pembahasan:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$d = \sqrt{(8-2)^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.